Гамма-2-норма и мультипликаторы Шура: введение

Через |x|, если не указано иное, обозначаем евклидову длину вектора x.

Пусть M — вещественная матрица размера m\times n. Через \gamma_2(M) обозначим точную нижнюю грань c>0, таких что M представляется в виде M=AB, причём для любой строки a_i матрицы A и любого столбца b^j матрицы B имеем |a_i|\cdot|b^j|\le c.

Упражнение 1. \gamma_2(M)\le c тогда и только тогда, когда найдутся вектора x_1,\ldots,x_m и y_1,\ldots,y_n в некотором конечномерном евклидовом пространстве, такие что M_{i,j}=\langle x_i,y_j\rangle для всех i,j, и \max_i |x_i| \cdot \max_j |y_j| \le c.

Матрица имеет малый ранг, когда её элементы представимы в виде скалярного произведения маломерных векторов: \mathrm{rk}\;M\le r\Leftrightarrow M_{i,j}=\langle x_i,y_j\rangle,\;x_i,y_j\in\mathbb R^r; в случае же малой \gamma_2-нормы элементы представимы в виде скалярного произведения коротких векторов. Это говорит о тесной связи ранга и \gamma_2-нормы.

Точная нижняя грань в определении \gamma_2 достигается. Действительно, можно считать, что размерность пространства, в котором лежат x_i,y_j, не превосходит m+n.

Упражнение 2. Величина \gamma_2 задаёт норму в пространстве матриц \mathrm{Mat}_{m\times n}(\mathbb R).

Данное определение есть частный случай \gamma_2-нормы в пространстве операторов между банаховыми пространствами X и Y. А именно, \gamma_2(u) для оператора u\colon X\to Y есть точная нижняя грань c>0, таких что u представляется в виде u=AB, где B\colon X\to H, A\colon H\to Y, H — некоторое гильбертово пространство, \|A\|\cdot\|B\|\le c.

Через \Gamma_2(X,Y) обозначается банахово пространство операторов X\to Y с конечной \gamma_2-нормой.

Упражнение 3. Проверить, что \gamma_2(M) матрицы равна \gamma_2-норме M как оператора \ell_1^n\to\ell_\infty^m. Указание: матричная норма \|\cdot\|_{1\to2} равна максимальной длине столбца матрицы, а норма \|\cdot\|_{2\to\infty} равна максимальной длине строки матрицы.

Из теоремы Джона вытекает следующее неравенство для оператора u\colon X\to Y конечного ранга: \gamma(u)\le \sqrt{\mathrm{rk}\;u}\cdot \|u\|_{X\to Y}.

Действительно, пусть E=\mathrm{Im}\;u, \dim E=r:=\mathrm{rk}\;u. Тогда, по теореме Джона, существуют взаимно обратные операторы f\colon (E,\|\cdot\|_Y)\to \ell_2^r и g\colon\ell_2^r\to(E,\|\cdot\|_Y) такие что \|f\|\cdot\|g\|\le \sqrt{r}. Тогда u=g(fu), \|fu\|\cdot \|g\|\le \|u\|\cdot\|f\|\cdot\|g\|\le \sqrt{r}\|u\|, что и требовалось.

Следствие. \gamma_2(M) \le \sqrt{\mathrm{rk}\;M}\max\limits_{i,j}|M_{i,j}|.

Для доказательства достаточно применить Упражнение 3 и вспомнить, чему равна \|\cdot\|_{1\to\infty} норма матрицы.

Представление M_{i,j}=\langle x_i,y_j\rangle, x_i,y_j\in H, наводит на мысли о неравенстве Гротендика. Вспомним его формулировку:

\max\limits_{x_i,y_j\in U(H)} \sum_{i,j} M_{i,j}\langle x_i,y_j\rangle \le K_G \max\limits_{\varepsilon_i,\delta_j=\pm 1}\sum_{i,j}M_{i,j}\varepsilon_i\delta_j

(U(H) — единичный шар в гильбертовом пространстве H).

Величина в левой части неравенства есть максимум \sum_{i,j} M_{i,j}A_{i,j} по всем матрицам \gamma_2(A)\le 1. Следовательно, этот максимум есть ни что иное как сопряжённая норма \gamma_2^*(M). Неравенство Гротендика позволяет заменить эту норму на более простую.

Упражнение 4. Максимум в правой части неравенства Гротендика равен \|M\|_{\infty\to 1}. Следовательно, \|M\|_{\infty\to 1}\le \gamma_2^*(M) \le K_G\|M\|_{\infty\to 1}.

Фиксируем матрицу M. Оператор в пространстве матриц, действующий по формуле A\mapsto A\circ M, где \circ — произведение Шура (т.е. (A\circ M)_{i,j}=A_{i,j}M_{i,j}), называется мультипликатором Шура; обозначим его S_M. Спектральная норма в пространстве матриц (т.е. норма матриц как операторов \ell_2^n\to\ell_2^m) индуцирует норму в пространстве операторов \mathrm{Mat}_{m\times n}\to\mathrm{Mat}_{m\times n}, поэтому имеет смысл говорить о норме оператора S_M.

Теорема. Норма мультипликатора Шура равна \gamma_2-норме матрицы: \|S_M\|:=\max\limits_{\|A\|\le 1}\|A\circ M\| = \gamma_2(M).

Различным доказательствам этой теоремы будут посвящены следующие несколько записей:
Доказательство по книге Pisier.
Доказательство через SDP.

Реклама
Стандартный

Добавить комментарий

Заполните поля или щелкните по значку, чтобы оставить свой комментарий:

Логотип WordPress.com

Для комментария используется ваша учётная запись WordPress.com. Выход / Изменить )

Фотография Twitter

Для комментария используется ваша учётная запись Twitter. Выход / Изменить )

Фотография Facebook

Для комментария используется ваша учётная запись Facebook. Выход / Изменить )

Google+ photo

Для комментария используется ваша учётная запись Google+. Выход / Изменить )

Connecting to %s