Гамма-2-норма: первое доказательство

Продолжение; начало здесь.

Первое доказательство приведём по книге G.Pisier, «Similarity Problems and Completely Bounded Maps», 2001. Оно достаточно длинное, но зато познавательное.

Под нормой \|M\| матрицы будем понимать спектральную норму. Для j-й координаты вектора используем обозначение v(j).

Пусть (x_j)_1^n и (y_i)_1^m — конечные последовательности векторов в линейном пространстве V. Скажем, что (y_i)\preccurlyeq (x_j), если для любого линейного функционала \xi\colon V\to\mathbb R имеем \sum |\xi(y_i)|^2 \le \sum |\xi(x_j)|^2.

Утверждение 1. Следующие свойства эквивалентны:
(i)  (y_i)_1^m \preccurlyeq (x_j)_1^n;
(ii)  существует матрица A=(a_{i,j}) размера m\times n и нормы \|A\|\le 1, такая что y_i = \sum\limits_{j=1}^n a_{i,j}x_j для всех i=1,\ldots,m.

Импликация (ii)=>(i) проверяется совсем просто: для любого \xi имеем \xi(y) = A\xi(x), где \xi(y)=(\xi(y_1),\ldots,\xi(y_m))^t, \xi(x)=(\xi(x_1),\ldots,\xi(x_n))^t. Следовательно, длина вектора \xi(y) не превосходит длины \xi(x).

Чтобы вывести (i)=>(ii), нужно построить оператор A. Обозначим через E\subset\mathbb R^n подпространство векторов вида \xi(x), \xi\in V^*. Определим на E оператор A по правилу A\xi(x)=\xi(y). Определение корректно, поскольку \xi(x)=0 влечёт \xi(y)=0. При этом A линеен и не увеличивает норму. Продолжим оператор A на всё \mathbb R^n, не увеличивая норму (сначала проектируем ортогонально на E). По построению, A\xi(x)=\xi(y), то есть \xi(y_i - \sum a_{i,j}x_j)=0 для всех \xi; откуда y_i=\sum a_{i,j}x_j.

Отметим, что добавлением нулей сравнение всегда можно свести к последовательностям одной длины.

Упражнение 1. При сравнении (y_i)\preccurlyeq(x_j) наборов векторов банахова пространства X достаточно проверить неравенство \sum |\xi(y_i)|^2 \le \sum |\xi(x_j)|^2 для \xi\in X^*.

Понятие сравнения последовательностей векторов нужно нам для эквивалентного описания \gamma_2-нормы.

Теорема 1 [Pisier, Theorem 3.4]. Пусть u\colon X\to Y — оператор между банаховыми пространствами, c>0. Тогда следующие утверждения равносильны:
(i) \gamma_2(u)\le c ;
(ii) для любых конечных последовательностей (y_i), (x_j) векторов из X, соотношение (y_i)\preccurlyeq(x_j) влечёт неравенство
\sum_i \|u(y_i)\|^2 \le c^2\sum_j \|x_j\|^2.\qquad(*)

Чтобы избежать технических трудностей, доказывать теорему будем для конечномерных X,Y (для матриц вообще достаточно рассматривать X=\ell_1^n,\;Y=\ell_\infty^m; не знаю, упрощает ли это дело). Ясно, что импликация (i)=>(ii) проще: у нас уже есть разложение u=AB,\;B\colon X\to H,\;A\colon H\to Y, \|A\|\cdot\|B\|\le c. Можно считать, что \dim H\le \dim X<\infty; следовательно, H можно отождествить с некоторым \ell_2^N. Далее, пусть (y_i)\preccurlyeq(x_j). В силу доказанного утверждения, y_i=\sum a_{i,j}x_j. Положим z_j=B(x_j)\in\ell_2^N, тогда имеем: \displaystyle \sum \|u(y_i)\|^2 = \sum\|A(B(y_i))\|^2 \le \|A\|^2 \sum\|B(y_i)\|^2, \displaystyle \sum\|B(y_i)\|^2 = \sum_i \|\sum_j a_{i,j}z_j\|^2 = \sum\limits_{k=1}^N \sum_i |\sum_j a_{i,j}z_j(k)|^2 \le \sum_{k=1}^N \sum_j|z_j(k)|^2 = \displaystyle = \sum_i \|z_i\|^2 \le \|B\|^2\sum_j \|x_j\|^2. Итого, \sum\|u(y_i)\|^2 \le \|A\|^2\|B\|^2\sum \|x_j\|^2\le c^2\sum \|x_j\|^2. Для проверки (ii)=>(i) мы из неравенства (*) выведем существование скалярного произведения на X, такого что \|u(x)\|^2 \le \langle x,x\rangle \le c^2\|x\|^2,\;x\in X. Отметим, что неравенство \|u(x)\|^2\le c^2\|x\|^2 сразу следует из (*), однако непонятно, почему можно устроить выборку x\mapsto Q(x)\in [\|u(x)\|^2, c^2\|x\|^2] так, чтобы Q было квадратичной формой.

Рассмотрим пространство квадратичных форм \mathcal Q=\{\varphi\colon X^*\to\mathbb R,\; \varphi(\xi)=\sum q_{i,j}\xi(i)\xi(j)\} на X^* (с тем же успехом можно брать вообще все функции на X^*). Вектор x\in X задаёт отображение \hat x\colon\xi\mapsto \xi(x), при этом, \hat x^2\in \mathcal Q.  Определим в \mathcal Q выпуклый положительно-однородный функционал
p(\varphi) = \inf\{c^2\sum\|x_i\|^2\colon \varphi\le\sum\hat x_i^2\},
и вогнутый положительно-однородный функционал
q(\varphi) = \sup\{\sum\|u(y_i)\|^2\colon \varphi\ge \sum\hat y_i^2\}.
Отметим, что q определён лишь на множестве \mathcal Q_+:=\{\varphi\in\mathcal Q\colon \varphi\ge 0\}.

Неравенство (y_i)\preccurlyeq (x_j) равносильно тому, что \sum\hat y_i^2 \le \sum \hat x_j^2 (поточечно). Из этого и из (*) следует, что q(\varphi)\le p(\varphi) на \mathcal Q_+. Применяя версию теоремы Хана-Банаха (см. Упражнение 2 ниже), строим линейный фукционал f\colon\mathcal Q\to\mathbb R, такой что q(\varphi)\le f(\varphi)\le p(\varphi) при \varphi\in\mathcal Q_+. Искомое скалярное произведение суть \langle x,y\rangle := f(\hat x \hat y). При x=y имеем \|u(x)\|^2 \le q(\hat x^2) \le \langle x,x\rangle \le p(\hat x^2) \le c^2\|x\|^2.

Итак, нужное скалярное произведение (возможно, вырожденное) построено. Дальше всё просто. Положим Z=\{x\colon \langle x,x\rangle=0\}, H := X/Z будет гильбертовым пространством, B\colon X\to H суть естественная проекция, A\colon H\to Y определяется из условия A(B(x))=u(x). Теорема доказана.

Упражнение 2. Пусть V — линейное пространство, V_+ — выпуклый конус в V (то есть v,w\in V_+,\;t\ge 0\Longrightarrow tv\in V_+,\;v+w\in V_+), p\colon V\to\mathbb R — положительно-однородный выпуклый функционал (т.е. p(tv)=tp(v),\;v\in V,t\ge0; p(x+y)\le p(x)+p(y)), q\colon V_+\to\mathbb R — положительно-однородный вогнутый функционал (т.е. q(tv)=tq(v),\;v\in V_+,t\ge0; q(x+y)\ge q(x)+q(y)), причём q(x)\le p(x) на V_+. Тогда найдётся линейный функционал f\colon V\to\mathbb R, такой что
q(x)\le f(x)\le p(x),\quad x\in V_+.
(Указание: примените теорему Хана-Банаха к функционалу r(x)=\inf\{p(x+y)-q(y)\colon y\in V_+\}.)


Вернёмся к \gamma_2-норме матриц. Как было указано во введении, величина \gamma_2(M) равна \gamma_2-норме оператора \colon\ell_1^n\to\ell_\infty^m, x\mapsto Mx. Неравенство \gamma_2(M)\le 1, по теореме 1, эквивалентно следующему:
(y_i)\preccurlyeq (x_j) \Longrightarrow \sum \|My_i\|_\infty^2 \le \sum\|x_j\|_1^2.

Введём ещё одну норму на пространстве матриц. Через \beta(M) обозначим точную нижнюю грань c>0, таких что существуют конечные последовательности векторов (y_k),(x_k)\subset \mathbb R^n, и (v_k)\subset\mathbb R^m, такие что (y_k)\preccurlyeq(x_k), M=\sum_k v_ky_k^t и \sum\|v_k\|_1^2\cdot\sum\|x_k\|_1^2 \le c^2.

На пространстве матриц имеется скалярное произведение \langle A,M\rangle = \sum A_{i,j}M_{i,j}. Напомним, что \gamma_2^*(M) = \max\limits_{\gamma_2(A)\le 1}\langle A,M\rangle.

Утверждение 2. \beta(M) = \gamma_2^*(M).

Докажем равносильное равенство \beta^*(M)=\gamma_2(M). Неравенство \beta^*(M)\le 1 равносильно тому, что \langle A,M\rangle \le 1 для любой матрицы с \beta(A)\le 1. Для A=\sum_k v_ky_k^t имеем \langle A,M\rangle =\sum_k\langle v_k,My_k\rangle. Следовательно, неравенство \beta^*(M)\le 1 эквивалентно тому, что \sum_k \langle v_k,My_k\rangle\le 1 для любых векторов (y_k),(x_k),(v_k) с (y_k)\preccurlyeq(x_k), \sum \|x_k\|_1^2\le 1, \sum \|v_k\|_1^2\le 1.

Очевидно, что \sum_k \langle v_k,My_k\rangle\le (\sum\|v_k\|_1^2)^{1/2}(\sum\|My_k\|_\infty^2)^{1/2} и равенство может достигаться за счёт выбора (v_k). Отсюда, окончательно, \beta^*(M)\le 1 тогда и только тогда, когда \sum\|My_k\|_\infty^2 \le 1, если (y_k)\preccurlyeq(x_k), \sum \|x_k\|_1^2\le 1. Последнее условие, как мы уже видели, равносильно тому, что \gamma_2(M)\le 1. Утверждение доказано.

У нас возникло условие вида (y_k)\preccurlyeq(x_k) с ограничением на \sum\|x_k\|_1^2. Оказывается, его можно записать в более простом виде.
Утверждение 3. Следующие условия на (y_k)_1^K\subset \mathbb R^n эквивалентны:
(i) существует последовательность векторов (x_k), такая что (y_k)\preccurlyeq(x_k) и \sum\|x_k\|_1^2\le 1;
(ii) существует матрица A=(a_{k,j}) размера K\times n и нормы \|A\|\le 1, и вектор \alpha\in\mathbb R^n длины |\alpha|\le 1, такие что y_k = \sum_j a_{k,j}\alpha_j e_j (где e_j — базисные вектора).

Импликация (ii)=>(i) сразу следует из Утверждения 1; докажем (i)=>(ii). Положим \alpha_j = (\sum_k \|x_k\|_1\cdot |x_k(j)|)^{1/2}. Проверка «в лоб» показывает, что (y_k)_1^K \preccurlyeq (\alpha_j e_j)_1^n, и нужное нам представление получается из Утверждения 1.


Приступим к доказательству основной теоремы.

Пусть \gamma_2(M)\le 1, докажем, что \|A\circ M\|\le 1 для любой матрицы с \|A\|\le 1. Неравенство \|A\circ M\|\le 1 означает, что \sum_{i,j} \beta_i A_{i,j}M_{i,j}\alpha_j\le 1 для любых единичных векторов \alpha\in\mathbb R^n,\;\beta\in\mathbb R^m. Имеем \sum \beta_iA_{i,j}M_{i,j}\alpha_j =\langle A',M\rangle \le \gamma_2^*(A'), где A'_{i,j}=\beta_iA_{i,j}\alpha_j. Положим x_j=\alpha_j e_j, y_i=\sum A_{i,j}x_j, v_i=\beta_i e_i, тогда A'=\sum v_iy_i^t и (y_i)\preccurlyeq (x_j). Следовательно, \gamma_2^*(A')\le (\sum|\alpha_j|^2)^{1/2}(\sum|\beta_i|^2)^{1/2}\le 1, что и требовалось.

Предположим, матрица M такова, что \|A\circ M\|\le 1 для любой матрицы с \|A\|\le 1; докажем, что \gamma_2(M)\le 1. Это равносильно тому, что \langle A,M\rangle \le 1 для любой матрицы с \gamma_2^*(A)\le 1. Неравенство \gamma_2^*(A)\le 1 означает, что A=\sum v_ky_k^t, (y_k)\preccurlyeq(x_k), \sum\|x_k\|_1^2 \le 1, \sum\|v_k\|_1^2\le 1. Мы знаем, что условие на (y_k) влечёт представление y_k=\sum a_{k,j}\alpha_j e_j, где \|(a_{k,j})\|\le 1, \sum|\alpha_j|^2\le 1. Аналогично v_k=\sum b_{k,i}\beta_i e_i, откуда A_{i,j} = \beta_i\alpha_j c_{i,j}, c_{i,j}=\sum_k a_{k,j}b_{k,i}. При этом \|(c_{i,j})\|\le \|(a_{k,j})^t\|\cdot\|(b_{k,i})\|\le 1. Окончательно, \langle A,M\rangle = \sum \beta_i c_{i,j}M_{i,j} \alpha_j \le \|(c_{i,j})\circ M\|\le \|(c_{i,j})\|\le 1.

Теорема доказана!

Реклама
Стандартный

Добавить комментарий

Заполните поля или щелкните по значку, чтобы оставить свой комментарий:

Логотип WordPress.com

Для комментария используется ваша учётная запись WordPress.com. Выход / Изменить )

Фотография Twitter

Для комментария используется ваша учётная запись Twitter. Выход / Изменить )

Фотография Facebook

Для комментария используется ваша учётная запись Facebook. Выход / Изменить )

Google+ photo

Для комментария используется ваша учётная запись Google+. Выход / Изменить )

Connecting to %s