Матем из ЖЖ

Поскольку ЖЖ потихонечку умирает, а мой личный ЖЖ умирает под моим скальпелем быстро и неотвратимо, уношу всю математику оттуда.

6.9. (2005-03-23)

В далекие школьные времена, когда меня еще не тошнило от математики, я решал задачки. Иногда на задачу уходил день. Иногда неделя. Все из Д02 помнят, конечно же, задачу 6.9. с невинной формулировкой: на плоскости расположено n точек, не все из которых лежат на одной прямой, доказать что через них проходит по крайней мере n прямых. Но тупая индукция не помогает. Я возился с этой задачей регулярно целый месяц, но не решил. Помнится, ее сделали только 4 человека: естественно Петр; Ермак, Лебедев и Федоров (кто-то еще??).

Потом на какое-то время я забил на нее. Потом опять стал решать. Много раз находил решения, каждый раз неверные. Помню, пошел гулять с листком бумаги и ручкой и решал по пути. До сих пор точно помню место, где придумал решение (какую-то <вырезано цензурой> дважды бесконечную последовательность треугольников). На ближайшем матане гордо сдал решение Городенцеву. Каноническое решение оказалось обидно коротким, в две строчки, но додуматься до него было невозможно (хотя Олег это сделал).

Для меня эта задача пока остается самым большим достижением (несмотря на то, что решение ее было общеизвестно). Я действительно сильно сомневаюсь в том, что она им не останется. У моего отца, по его мнению, таким достижением было решение задачи из общей топологии (обязательно ли в секвенциальном компакте есть точки счетного характера), которую ведущий мировой общий тополог Архангельский ставил второй в своем списке. Отец помнит кучу подробностей про то, как он решал эту проблему.

Здесь я собрал всякие задачки по математике, разбросанные по моему ЖЖ.

1. Пусть F дифференцируема всюду на [a,b] и монотонна. Верно ли, что F абсолютно непрерывна на [a,b]?

2. Пусть F непрерывна на [a,b], дифференцируема на [a,b] всюду, за исключением счетного числа точек, и ее производная равна нулю (там где она есть). Тогда F постоянна. Описать все множества с таким свойством.

3. Построим последовательность по правилу x_0=1, x_{n+1}=sin(x_n). Найти асимтотику (асимптотическое разложение) x_n.

4. Пусть Q=(q_{i,j}), i=1..n,\,j=1..n — ортогональная матрица с det Q=1. Пусть
A=(q_{i,j}), i=1..k,\,j=1..k; B=(q_{i,j}), i=k+1..n,\,j=k+1..n — угловые подматрицы. Доказать геометрически, что det A=det B.

5. Ввести адекватную структуру на семействе функций распределения (ф.р.) (aka борелевских мерах). Например, ф.р. можно складывать и умножать: F_1 + F_2 есть ф.р. суммы двух независимых случайных величин с распределениями F_1 и F_2, аналогично с произведением. К сожалению, с такими операциями ф.р. не образуют кольца. А еще можно ф.р. возводить в квадрат и вообще брать от них любую борелевскую функцию: g(F) есть ф.р. величины g(x), где x имеет ф.р. F.

6. Рассмотрим последовательность (3/2)^n по модулю 1. Открытый вопрос, будет ли она равномерно распределена на [0,1]. А будет ли она плотна?

7. Как строго сформулировать, что нет канонического изоморфизма V и V^* (V — конечномерное векторное пространство)?

8. Верно ли, что всякое неограниченное выпуклое множество на плоскости (более общо, в конечномерном пространстве) содержит полупрямую? Что получится в бесконечномерном случае?
А верно ли, что если выпуклое подмножество W линейного пространства V не содержит полупрямых, то в V можно так ввести норму, что по ней W будет ограничено?

9. Существует ли непрерывная инволюция \mathbb R^n без неподвижных точек? Инволюция X — это отображение f:X->X, для которого f○f=id.

10. Пусть X — бесконечномерное банахово пространство. Гомеорморфны ли X и X\{0}?

11. Рассмотрим пространство Rn с какой-нибудь нормой. Пусть c>1. Верно ли, что всегда найдутся по крайней мере a^n точек, a=a(c)>1, с попарными расстояниями от 1 до с?

Добавил сюда мои записи в сообществе ru_math:

12. N раз бросили монетку

13. Кривая Пеано-Гильберта

14. Куб {0,1}^2n раскрасили в три цвета

Решение задачи 9 (Андрей Кустарёв). Ответ: не существует. Решение использует на всю катушку алгебраическую топологию (не знаю, есть ли более простое, это придумалось само). Предположим, что такая инволюция на R^n нашлась. Тогда отфакторизуем по ней, получим некоторое пространство X. Вычислим гомотопические группы пространства X.

Из свойств накрытий следует, что \pi_1(X)=Z_2, а при i>1 \pi_i(X)=0, другими словами, X — пространство типа K(Z_2,1). Нам уже известно одно пространство типа K(Z_2,1) — это RP^{\infty}. Кроме того, любые два пространства типа K(Z_2,1) должны быть гомотопически эквивалентны — а значит, у них у всех одинаковые гомологии.

Но у RP^{\infty} есть гомологии в сколь угодно высоких размерностях — а пространство X является n-мерным топологическим некомпактным многообразием, поэтому выше размерности n-1 у него гомологий нет. Получаем противоречие.

К задаче 10. Комментарий sowa@lj: Наверное, да, но никакой ссылки не помню. Этим в 60-е годы увлекались. Бессага, Пелчинский. В случае гильбертова пространства я уверен больше. Собственно, результаты такого сорта и закрыли предмет — в бесконечномерном случае геометрия/топология многообразий (без дополнительной структуры) малоинтересна — все определяется гомотопическим типом.

В качестве бонуса, несколько развлекательных математических штук:

  • Проблемы Смейла. Аналог знаменитых проблем Гильберта, только в 21-м веке.
  • Пусть p_n(x)/q_n(x) — n-я подходящая дробь числа x. Существует число c, такое что для почти всех x из (0,1) величина q_n(x)^{1/n} стремится к c (Хинчин); при этом c = exp(PI^2/(12ln 2)) (Леви).
  • Про повторные логарифмы:

ЗПЛ — это так называемый закон повторного логарифм. Не знаю, почему решил про него написать. Просто так, ещё один пример того, что мне нравится. Итак: пусть мы бросаем монетку. Обозначим через X_k случайную величину, равную 1, если на k-м бросании выпал орел, и 0, если выпала решка. Число орлов, выпавших за n подбрасываний монетки, равно S_n = X_1+X_2+..+X_n. Закон больших чисел говорит, что S_n/n \to 1/2 по вероятности, то есть для любого \varepsilon>0 вероятность того, что |S_n/n-1/2|>\varepsilon, стремится к нулю при n\to\infty. Из этого, правда, не ясно, должна ли разность S_n/n-1/2 оставаться малой для каждой конкретной последовательности подбрасываний. Оказывается, да: поскольку ряд \sum_n \mathsf{P}(|S_n/n-1/2|>\varepsilon) сходится для каждого \varepsilon>0, то из леммы Бореля-Кантелли следует, что с вероятностью 1 отношение S_n/n стремится к 1/2. По-научному: S_n/n\to 1/2 почти наверное, это «усиленный закон больших чисел». Иначе говоря, S_n=n/2+o(n). Оказывается, остаток o(n) имеет порядок \sqrt{n}. Точнее, имеет место центральная предельная теорема: для любого t

\mathsf{P}(|(S_n-n/2)/\sqrt{n/4}| < t) \to F(t) при n\to\infty,

где F(t) есть функция распределения нормальной величины с нулевым мат. ожиданием и единичной дисперсией. По-научному: S^*_n=(S_n-n/2)/\sqrt{n/4} сходится к N(0,1) по распределению. Но если рассмотреть фиксированную последователность подбрасываний, то S^*_n может оказаться достаточно большим. Насколько большим? Ответ даёт закон повторного логарифма: с вероятностью 1 имеем

\varlimsup S^*_n/\sqrt{2\log\log n} = 1,
\varliminf S^*_n/\sqrt{2\log\log n} = -1.

То есть для любого a>1 мы, начиная с некоторого n, находимся в области -\sqrt{2a \log\log n} < S^*_n < \sqrt{2a \log\log n}, но для любого b<1 мы бесконечное число раз выходим из области -\sqrt{2b \log\log n} < S^*_n < \sqrt{2b \log\log n}, причем как вверх, так и вниз. Так и колеблемся от \sqrt{2\log\log n} до -\sqrt{2\log\log n} и обратно. Интересно, а что можно сказать про граничное значение, \sqrt{2\log\log n}? Достигаем ли мы его? Оказывается, да: с вероятностью 1

\varlimsup (S^*_n-\sqrt{2\log\log n})*(\sqrt{2\log\log n} / \log\log\log n) = 3/2,

т.е S^*_n будет немножко превышать это число!
В заключение нельзя не добавить, что ЗПЛ верен для произвольной последовательности независимых одинаково распределенных случайных величин X_1,…,X_n,.. с конечной дисперсией.

Реклама
Стандартный

Добавить комментарий

Заполните поля или щелкните по значку, чтобы оставить свой комментарий:

Логотип WordPress.com

Для комментария используется ваша учётная запись WordPress.com. Выход / Изменить )

Фотография Twitter

Для комментария используется ваша учётная запись Twitter. Выход / Изменить )

Фотография Facebook

Для комментария используется ваша учётная запись Facebook. Выход / Изменить )

Google+ photo

Для комментария используется ваша учётная запись Google+. Выход / Изменить )

Connecting to %s